旅人算

旅人算（たびびとざん）とは、算数において速さを題材とする文章題の類型のひとつ。動くものが2つあるとき、2つのものの隔たりの推移に関する問題をいう。2つの物の進行方向により、出会い算と追いつき算に分けられる。通常は、速さを単純にたし引きして解ける。

公式

向かい合って進む場合（出会い算）
- 出会うまでの時間 = 2地点の距離 ÷ 速さの和
同じ方向に進む場合（追いつき算）
- 追いつくまでの時間 = はじめの距離 ÷ 速さの差

多くの場合はこれらを用いて解く。

例題

次のような問題が典型的である（追いつき算の例）。

解法

公式・距離　距離＝速さ×時間・時間　時間＝距離÷速さ・速さ　速さ＝距離÷時間

解答

(1) 次郎が出発した時点ですでに太郎は15分間歩いているので、その距離の差は

60 × 15 ＝ 900（m）

である。太郎を追いかけた次郎は、1分間で 150－60＝90（m）だけ、その差を縮めることができる。したがって、出発時についていた900mの差を次郎が縮めるには

900 ÷ 90 ＝ 10（分）

かかる。次郎の出発は8時15分だったので、10分を足して8時25分に太郎に追いついたことになる。

(2) 追い越した後は、1分間に90mずつ差が開いていく。それは、次郎の後を追う太郎が 90÷60＝1.5（分）で歩ける距離である。次郎が学校に着いたのは

9 ÷ 1.5 ＝ 6（分）

後なので、次郎は合計で 10＋6＝16（分）自転車で走ったことになる。つまり、学校までの距離は

150 × 16 ＝ 2400（m）

である。

別解

距離＝速さ × 時間

上の公式から「同じ距離を進む場合、時間の比は速さの逆比になる」という点に注目する。
線分図を描くと、より容易に理解できる。

速さの比は、

太郎 : 次郎＝ 60 : 150 ＝ 2 : 5

であるから、同じ距離を進むのにかかる時間の比は、

太郎 : 次郎＝ 5 : 2

である。

同じ距離（家から追いつくまで、または家から学校まで）を進むのに太郎がかかった時間を★★★★★、次郎がかかった時間を★★とすると、その差は★★★である。

(1) 追いつくまで

追いつくまでは、差★★★が15分なので、

★ ＝ 15 ÷ 3 ＝ 5（分）

であり、太郎がかかった時間は

★ × 5 ＝ 5 × 5 ＝ 25（分）

である。したがって、8時25分に追いつかれたことになる。

(2) 全体

学校までは、太郎のほうが次郎より24分（最初の15分＋最後の9分）長く歩いていることになる。差★★★が24分なので、

★ ＝ 24 ÷ 3 ＝ 8（分）

であり、太郎がかかった時間は

★ × 5 ＝ 8 × 5 ＝ 40（分）

である。太郎の速さは毎分60mだから、家から学校までの距離は

60 × 40 ＝ 2400（m）

である。

進行グラフによる解法

横軸を時間とし、縦軸を距離とする「進行グラフ」を使って解くこともできる。

1次関数による解法

太郎は速さ60m/mなのでy=60x(y軸は距離、x軸は時間。原点を8:00とする) 次郎は速さ150m/mなので、y=150xとしたいが、彼は太郎の15分後に出発しているので、座標(x,y)=(15,0)を通ることから、y=150x-2250となる。追いつく時間は両関数の交点の座標なので、60x=150x-2250を解くと、x=25。故に、8:25に追いつく。次郎のつく時間をtとすると、太郎のつく時間は(t 9)となる。60(t 9)=150t-2250=距離なので、tについて解くと、t=31。60(31 9)=2400。故に2400mとなる。